Cilj je nacrtne geometrije prikazati trodimenzionalni objekt na dvodimenzionalnoj plohi na način da promatrač ima što točniju predodžbu o tom prostornom objektu. Nastala je iz potpuno praktičnih potreba, razvojem tehnike (brodogradnja, građevinarstvo, strojarstvo), astronomije (projiciranje prirodnih nebeskih tijela), geografije (kartografija), arhitekture i slikarstva (perspektiva). U ovom ćemo poglavlju opisati trodimenzionalni prostor u kojemu ćemo rješavati neke probleme nacrtne geometrije. Njegovi osnovni elementi su točke, pravci i ravnine.
Međusobni položaj dvaju pravaca u prostoru
- Paralelni/usporedni pravci u prostoru su pravci koji pripadaju istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka.
- Ako pravci pripadaju istoj ravnini, a nisu paralelni, onda se oni sijeku.
- Pravci su mimosmjerni/mimoilazni ako nemaju zajedničkih točaka i ne postoji ravnina kojoj pripadaju oba pravca.
Međusobni položaj dviju ravnina u prostoru
- Dvije ravnine međusobno su paralelne/usporedne ako nemaju zajedničkih točaka.
- Ako se ravnine sijeku, njihov je presjek pravac koji nazivamo zajednička presječnica.
Međusobni položaj pravca i ravnine u prostoru
- Pravac pripada ravnini ako su sve njegove točke u toj ravnini.
- Pravac je paralelan/usporedan s ravninom ako s njom nema zajedničkih točaka.
- Pravac probada ravninu ako s njom ima točno jednu zajedničku točku, probodište.
Okomitost pravca i ravnine
Pravac p okomit je na ravninu α ako je okomit na sve pravce ravnine α probodištem P.
Paralelno projiciranje
Nacrtna geometrija daje rješenja kako prostornu figuru preslikati u ravninsku. Ovakva preslikavanja nazivamo projiciranjima prostora na ravninu i u praksi se koristi centralno i paralelno projiciranje.
Kod paralelnog projiciranja zrake projekcije međusobno su usporedne. Svakoj točki A prostora pridružuje se probodište pravca kroz A i ravnine π. Razlikujemo koso i ortogonalno projiciranje, ovisno o tome jesu li zrake projekcije okomite na ravninu ili ne.
a) Ortogonalna projekcija točke A na ravninu α p je ravnine α i probodište je ravninaα i okomice točkom A na tu ravninu.
b) Ortogonalna projekcija dužine AB na ravninu α.
c) Ortogonalna projekcija pravca na ravninu α.
Ortogonalna projekcija dužine AB na ravnu α je dužina . Ona je spojnica projekcija A’ i B’ točaka A i B. Ortogonalna projekcija bilo koje točke dužine AB pripada dužini A′B′.
Ortogonalna projekcija pravca na ravninu α je pravac A’B’ određen ortogonalnim projekcijama bilo kojih dviju točaka pravca AB na ravninu α.
Zadatak 1. Nacrtajte probodišta pravca određenog zadanim točkama A i B s ravninom α. Točke A’ i B’ ortogonalne su projekcije točaka A i B na ravninu α.
Centralno projiciranje
Kod centralnog projiciranja zrake projekcije „izlaze“ iz jedne točke S koju nazivamo centrom/središtem projiciranja. Svakoj točki A ravnine paralelne s ravninom π pridružuje se točka A’ u kojoj pravac AS probada ravninu π. Jedan od oblika centralnog projiciranja je persspektivno projiciranje čemu ćemo posebno posvetiti pažnju.
a) Centralna projekcija točke A na ravninu α s obzirom na središte S je probodište A’ polupravca SA i ravnine α.
b) Centralna projekcija dužine AB na ravninu α s obzirom na središte S.
c) Centralna projekcija pravca na ravninu α s obzirom na središte S.
Zadatak 2. Nađite probodište:
a) P pravca a (određenog zadanom točkom A i kojem jedan dio, prikazan na slici, pripada pobočki piramide) i ravnine α.
b) Q pravca b (određenog zadanom točkom B i kojem jedan dio, prikazan na slici, pripada pobočki piramide) i ravnine α.
Zadatak 3. Nađite probodište pravca AB određenog zadanim točkama A i B s ravninom α.
Zadatak 4. Odredite presjek dviju ravnina koje su zadane tragovima.
Zadatak 5. Nacrtajte/ konstruirajte presjek kocke i ravnine DKM.
Kosa projekcija
Kosa projekcija oblik je paralelnog projiciranja kad zrake projekcije zatvaraju s ravninom projekcije neki kut različit od 90°. Rješenja sljedećih problema crtat ćemo unutar kocke prikazane u kosoj projekciji. Uobičajeno ju je crtati na način prikazan na desnoj slici.
Uočimo kako se prikazom kocke u kosoj projekciji čuva se međusobna paralelnost bridova, za razliku od centralnog projiciranja.
Kako istu kocku možemo promatrati na dva različita načina, nevidljive bridove crtamo iscrtkano (Slika 76.).
TLOCRT – NACRT – BOKOCRT
Mongeova metoda za prikazivanje 3D objekata u 2D ravnini koristi ortogonalne projekcije na tri, u parovima međusobno okomite ravnine, koje nazivamo ravnina tlocrta, ravnina nacrta i ravnina bokocrta. Označavamo ih redom π1, π2 i π3 (slika 77).
Na slici 78 prikazana je projekcija neke točke prostora na ravnine π1 (ravnina tlocrta), π2 (ravnina nacrta) i π3 (bokocrtna ravnina).
- Ortogonalnu projekciju točke P na ravninu π1 označavamo P‘ te je zovemo tlocrt točke P (pogled odozgo).
- Ortogonalnu projekciju točke P na ravninu π2 označavamo P” te je zovemo nacrt točke P (pogled sprijeda).
- Ortogonalnu projekciju točke P na ravninu π3 označavamo P”’ te je zovemo bokocrt točke P (pogled zdesna). Uobičajeno je crtati desni bokocrt, osim ako nije drugačije definirano.
Primjer 1. Nacrtajmo tlocrt, nacrt i bokocrt kocke.
Primjer 2. Geometrijskom tijelu na slici nacrtajmo projekcije tlocrta, nacrta i bokocrta (i desni i lijevi).
Rješenje:
Zadatak 1. Na idućim su slikama geometrijske figure prikazane u kosoj projekciji. Nacrtajte projekcije tlocrta, nacrta i bokocrta (lijevi i desni) za svaku od figura.
Primjer 3. Geometrijsko tijelo (figuru) prikazano projekcijama (tlocrt, nacrt i bokocrt), nacrtajmo u kosoj projekciji.
Rješenje:
Zadatak 2. Geometrijske figure prikazane su svojim projekcijama. Nacrtajte ih u kosoj projekciji. (Iscrtkanim linijama istaknuti su nevidljivi bridovi.
