Kako povećati svoje šanse u kvizu?
Cilj:
Rješavati složenije zadatke koristeći stablo vjerojatnosti.
Ishodi učenja:
Učenik će:
- Primijeniti Bernoullijevu formulu
- Riješiti zadatak pomoću stabla vjerojatnosti
- Izračunati vjerojatnost događaja pomoću stabla vjerojatnosti
- Kreirati zadatke koji se rješavaju pomoću stabla vjerojatnosti
Upute za nastavnika:
Prije rješavanja zadatka 1 učenike potaknite da poslože tri navedena događaja od najmanje vjerojatnog do najvjerojatnijeg.
Primjer. Pripremite dvije kutije i dvije vrste čokoladica istog oblika (ili slično), npr. 15 bombona – 5 punjenih likerom od višnje i 10 punjenih kremom od lješnjaka. Trebat će vam i jedna igraća kocka. Neka učenici pokušaju odrediti što je vjerojatnije “izvučena je višnja” ili “izvučen je lješnjak”.
Neka prema svojim hipotezama “uplate oklade”. Odigrajte nekoliko izvlačenja. Bolje bi trebali proći oni učenici koji su se “kladili u lješnjak”. Raspravite o njihovim razmišljanjima. Neka učenici prije rješavanja zadataka 3 i 4 zapišu svoju procjenu. Nakon rješavanja usporedite rezultat s procjenama učenika.
Kao uvod u problem u zadatku 5 pogledajte isječak filma 21: www.youtube.com/watch?v=Q5nCtgcL4jU. Zaustavite video prije odgovora i prodiskutirajte s učenicima o njihovim očekivanjima.
Na samom kraju pogledajte s učenicima video Lucky numbers kao ponavljanje i poticaj da se pozabave i Statistikom: www.youtube.com/watch?v=qOzA2QVQD2Q&list=PLEF190D2B9AF0FA34&index=9
Rješenja zadataka:
Zadatak 1.
a) Vjerojatnost uspjeha u jednom bacanju (pala je šestica) je 1/6, a vjerojatnost neuspjeha (nije pala šestica) je 5/6. Uspješna bacanja možemo odabrati na (10¦4) načina. Vjerojatnost da točno 4 puta padne šestica je 
b) Ovdje je broj uspjeha 0, a broj neuspjeha 12. Vjerojatnost da niti jednom ne padne šestica je 
c) Ovdje ćemo iskoristiti b) podzadatak. Događaj “dobili smo barem jednu šesticu” suprotan je događaju “nismo dobili ni jednu šesticu” pa je tražena vjerojatnost ≈1-0.1615=0.8385.
Zadatak 2.
Ovdje je uspjeh “odabrana je šalica s greškom” i vjerojatnost tog događaja je 0.05. Vjerojatnost neuspjeha je 0.95.
d) “Najviše dvije šalice s greškom” znači: “0 šalica s greškom” ili “1 šalica s greškom” ili “2 šalice s greškom” tj.
e) “Barem tri šalice s greškom” znači 3, 4 ili 5 šalica s greškom – to je suprotan događaj događaju “najviše dvije šalice s greškom” pa je vjerojatnost 1-0.9988=0.0012
Zadatak 3:
Nacrtajmo stablo vjerojatnosti za ovog problema
Sada kada imamo vjerojatnosti elementarni ishoda samo zbrojimo vjerojatnosti da pacijent dobije placebo: 1/4+1/10+1/20=0.4.
Zadatak 4.
Nacrtajmo stablo vjerojatnosti.
Zanima nas vjerojatnost da smo zaraženi (Z) uz uvjet da nam je test pozitivan (+). Po formuli za uvjetnu vjerojatnost imamo:
Iz stabla vjerojatnosti čitamo da je 
pa je 
Ovaj rezultat možda će imati više smisla ako uočimo da je samo 1% populacije zaražen, pa je veća vjerojatnost da će pozitivan test biti rezultat pogreške pri testiranju nego da je osoba zaista zaražena. Iz ovog razloga se ne bi trebale testirati nasumično odabrane osobe, već samo one koje pokazuju odgovarajuće simptome.
Zadatak 5.
Označimo s
- A_1 događaj “automobil je iza 1. vrata”
- A_2 događaj “automobil je iza 2. vrata”
- A_3 događaj “automobil je iza 3. vrata”
- V_1 događaj “voditelj je otvorio 1. vrata”
- V_2 događaj “voditelj je otvorio 2. vrata”
- V_3 događaj “voditelj je otvorio 3. vrata”.
Nacrtajmo stablo vjerojatnosti.
Uzmimo da je voditelj otvorio 2. vrata. Ostanemo li pri odabiru 1. vrata, vjerojatnost da je automobil iz njih je: 
Pametnije je promijeniti odabir vrata.
Zadatak 6.
Nacrtajmo stablo vjerojatnosti
Tražimo vjerojatnost da je istraživač pokucao na vrata stana 1 uz uvjet da mu je otvorila žena:
