Kad slučajnost odlučuje
Cilj:
Primijeniti pravila za računanje vjerojatnosti.
Ishodi učenja:
Učenik će:
- Interpretirati pojmove suprotnog događaja, unije i presjeka događaja
- Primijeniti pravila za računanje vjerojatnosti
- Izračunati uvjetnu vjerojatnost događaja
- Kreirati zadatke iz područja vjerojatnosti
- Izračunati vjerojatnost događaja na temelju prikupljenih podataka
Upute za nastavnika:
Svako pravilo za računanje vjerojatnosti treba s učenicima prodiskutirati. Pravila iz prve tablice lako slijede iz dijagrama.
Zadatak 3 učenici mogu raditi u parovima. Dajte im špil karata kako bi mogli prebrajati elemente pojedinog skupa i uočiti da se određene karte nalaze u oba skupa (presjek) pa moramo paziti da ih ne brojimo dva puta.
Za zadatak 4 učenike podijelite u parove, dajte im dvije igraće kocke i tekst zadatka. Neka kao Pascal i Fermat pokušaju riješiti de Méréovu nedoumicu. Prodiskutirajte rješenja.
Za zadatak 5 učenike podijelite u četvorke. Neka izaberu koju igru žele igrati – bitno je da se pobjednik može relativno brzo odrediti – bilo kakva utrka koju učenici mogu osmisliti (zatvorenih očiju, zavezanih nogu…), utrka u pretraživanju zadanog pojma (pojmovi mogu biti matematički), društvena igra (Memory, Uno, Boggle, Set, Tantrix…), online igra. Zatim im zadajte zadatak.
Kod uvođenja uvjetne vjerojatnosti pripremite kutiju s dvije vrste čokoladica istog oblika (ili slično), npr. 15 bombona – 5 punjenih likerom od višnje i 10 punjenih kremom od lješnjaka. Podijelite učenike u dvije skupine prema dražem punjenju – lješnjak i višnja. Vi izvlačite bombone, a učenici nakon svakog izvlačenja računaju kolika je vjerojatnost da u sljedećem izvlačenju izvučete njihov okus. Primjer prilagodite nabavljenim i korištenim materijalima.
Prije zadatka 9 učenicima podijelite tablice s radnog lista Bingo datoteke Dodaci.xlsx i pošaljite ih (mogu i u parovima) da pronađu 8 osoba i zapišu njihove rođendane (bitno je da svi imaju različite osobe, zato bilježe ime i prezime, mogu upisati i svoje datume rođenja). Po povratku odigrajte”Rođendanski bingo” – jedna osoba čita datume (bez godine rođenja), a ostali provjeravaju imaju li slučajno isti datum. Kada pronađu isti datum viču “Bingo!”.
Tablicu možete prilagoditi broju učenika, prikupljena 23 datuma daju vjerojatnost 51%, a 56 datuma 95% da barem dvoje ljudi s popisa dijeli datum rođendana. Prije nego krenu u potragu popričajte o očekivanjima. Za računanje koristite Wolfram Alpha (www.wolframalpha.com).
Rješenja zadataka
Zadatak 1.
- a) A
- b) A∩B
- c) A ∩B
- d) A∪B
- e) A∪B
Zadatak 2.
- a) “Ana nema psa.”
- b) “Ana ima psa i trenira boks.”
- c) “Ana ima psa ili trenira boks.”
- d) “Ana ima psa i ne trenira boks.”
- d) “Ana nema psa ili trenira boks.”
Zadatak 3.
Označimo s A događaj “izvučena karta je pik”, a s B događaj “izvučena karta je slika”.
Zadatak 4.
a) Prvo bacanje može završiti sa 6 ishoda. Drugo opet sa 6, treće sa 6 i četvrto sa 6. To je ukupno 6^4=1296 mogućih 4-nizova. To je broj elementarnih ishoda pri 4 bacanja igraće kocke. Označimo promatrani događaj sa A. Teško nam je prebrojati koliko postoji 4-nizova u kojima se barem jednom pojavljuje broj 6.
Odredimo zato kolika je vjerojatnost da u četiri bacanja igraće kocke ne dobijemo ni jednu šesticu. To je događaj A ̅. Za događaj „ni jednom nismo dobili šesticu“ postoji 5^4=625 povoljnih ishoda, pa je P(A ̅ )=625/1296≈0.48.
Sada lako odredimo vjerojatnost da je pala barem jedna šestica: P(A)=1-P(A ̅ )≈0.52.
b) Svako od 24 bacanja dvije igraće kocke može završiti sa 36 ishoda. To je ukupno 〖36〗^24 mogućih 24-nizova. To je broj elementarnih ishoda pri 24 bacanja dvije igraće kocke.
Za događaj A = „u 24 bacanja nismo niti jednom dobili duplu šesticu“ postoji 〖35〗^24 povoljnih ishoda (u svakom bacanju 35 opcija). Stoga imamo 
Kako je u prvoj igri šansa za dobitak nešto iznad 50% na nju se bolje kladiti nago na drugu igru, gdje je šansa za dobitak ispod 50%.
De Méré je kockajući se došao do tog rezultata. Njegovo „matematičko“ razmišljanje bilo je pogrešno.
Zadatak 6.
Ovdje se radi o nezavisnim događajima – drugo bacanje ne ovisi o rezultatu prvog bacanja (“novčić ne pamti”). Vjerojatnost da u bilo kojem bacanju dobijemo pismo je 1/2.
Označimo li s A događaj “u prvom bacanju je palo pismo”, a s B događaj “u drugom bacanju je palo pismo” imamo:
Zadatak 7.
U sva tri podzadatka rješenje je isto: 
Zadatak 8.
Pretpostavit ćemo ovdje da su letovi pilota neovisni. Događaj „pilot je oboren u jednom od 50 letova“ suprotan je događaju „pilot nije oboren u 50 letova“. Vjerojatnost da pilot nije oboren u jednom letu je 98% = 0.98. Vjerojatnost da pilot nije oboren ni u jednom od 50 letova onda je (0.98)^50.
Slijedi da je vjerojatnost da je pilot u jednom od tih letova oboren 1-(0.98)^50≈0.64. Vidimo da letač nije matematički siguran (vjerojatnost 100%) da će u 50 letova biti oboren.
Len je ovu vjerojatnost računao krivo, kao 50⋅0.02=1.
Zadatak 9.
I ovdje ćemo traženu vjerojatnost izračunati pomoću suprotnog događaja: „svi s popisa imaju rođendane na različite dane“.
Vjerojatnost da druga osoba ne dijeli rođendan s prvom je 364/365.
Vjerojatnost da treća osoba ne dijeli rođendan s prve dvije je 363/365.
Vjerojatnost da četvrta osoba ne dijeli rođendan s prve tri je 362/365. I tako dalje.
Vjerojatnost da se dogode svi ti događaji (pretpostavimo sada da je popisano 40 osoba) je
Vjerojatnost suprotnog događaja (tj. da „barem dvije popisane osobe imaju rođendan na isti dan“) je 1-0.11≈0.89.