Kako matematičar igra pikado
Cilj:
Usvojiti definicije vjerojatnosti.
Ishodi učenja:
Učenik će:
- Opisati slučaj pokus
- Primijeniti klasičnu definiciju vjerojatnosti u rješavanju zadataka
- Izračunati geometrijsku vjerojatnost
- Primijeniti frekvencijsku definiciju vjerojatnosti
Upute za nastavnika:
Započnite pitanjima: Kolika je vjerojatnost da će danas pasti kiša? Kolika je vjerojatnost da izaberem jednog od dvoje učenika? Kolika je vjerojatnost da danas pišete test iz Linearne algebre? Izmislite još neko pitanje vezano za trenutna zbivanja i/ili živote učenika.
Kako bi učenici bolje razumjeli i zapamtili pojam slučajnog pokusa dajte im novčić i tablicu na radnom listu Novcici datoteke Dodaci.xlsx. Neki učenici neka bacaju novčić i upisuju u tablicu P ako je palo pismo, a G ako je pala glava. Ostali učenici neka izmisle podatke. Izađite iz učionice i pustite da odrade pokus. Po povratku trebate pogoditi koje tablice su popunjene stvarnim podacima, a koje izmišljenim. Pogodit ćete tako što se u stvarnim podacima s jednakom vjerojatnošću pojavljuju sve kombinacije. Kada izmišljaju podatke učenici će izbjegavati duže nizove P-ova i G-ova jer smatraju da to nije vjerojatno.
Objasnite učenicima kako ste pogodili i da je svako bacanje nezavisan pokus (novčić ne pamti). Ova vježba je i dobar uvod u klasičnu definiciju vjerojatnosti gdje pretpostavljamo da su svi elementarni ishodi slučajnog pokusa jednako mogući.
Popunjene tablice čuvamo – koristimo ih kod uvođenja frekvencijske definicije vjerojatnosti.
Za zadatak 1 pripremite špil od 52 karte s kojim učenici mogu manipulirati, prebrojavati karte i lakše vizualizirati vjerojatnost.
Na web stranici Državnog zavoda za statistiku možete pronaći razne podatke. Potaknite učenike da sami istraže i izračunaju vjerojatnost koja ih zanima. Zadatak 2 jedan je takav primjer.
Pri uvođenju frekvencijske definicije vjerojatnosti iskoristite tablice koje ste popunjavali podacima o rezultatu bacanja novčića. Popunite tablicu:
Kojem broju teže relativne frekvencije?
Ako je novčić simetričan, relativne frekvencije bi trebale težiti broju 0.5. Bacanje novčića možete simulirati online aplikacijom (npr. www.shodor.org/interactivate/activities/Coin/ ).
Evo rezultata te simulacije:
Zadatak 3 učenici rade u parovima. Za svaki par treba pripremiti neprozirnu vrećicu i dva okusa iste vrste bombona (više primjeraka istog okusa). U rješenju se postavlja pitanje U čemu je greška? Način razmišljanja je dobar, ali je broj izvlačenja premalen. Potaknite učenike da pokušaju ponovo sa većim brojem izvlačenja.
Zadatak 5. Bilo bi dobro otići na pikado, odigrati jednu partiju i procijeniti odgovore na postavljena pitanja (možete to učiniti zajedno s učenicima ili im zadati za domaću zadaću). Zatim izmjeriti potrebne dimenzije, izračunati površine pa i vjerojatnosti. Dodatna pitanja za razmišljanje ili radove učenika: Za koje polje je najveća vjerojatnost za pogodak, a za koje najmanja? Kolika je vjerojatnost pogotka u polje koje nosi najviše bodova? Kolika je vjerojatnost pogotka u polje koje nosi najmanje bodova? Možete li na osnovu izračunatih vjerojatnosti i rasporeda polja osmisliti taktiku za lošeg igrača pikada? (www.stat.cmu.edu/~ryantibs/darts/)?
Rješenja zadataka:
Zadatak 1.
a) U špilu je trinaest tref karata pa je vjerojatnost 13/52=1/4=25%.
b) U špilu su četiri kralja pa je vjerojatnost 4/52=1/13≈7.7%
c) U špilu je samo jedan tref kralj pa je vjerojatnost 1/52≈1.9%
Zadatak 2.
Na početku školske godine 2015./16. bilo je ukupno 860 matičnih i samostalnih osnovnih škola. U Splitsko-dalmatinskoj županiji ima ih 198. Tražena vjerojatnost je 198/860=23%.
Zadatak 3.
Pretpostavimo da se radi o bombonima okusa limun i jagoda. Pretpostavimo da konačna tablica izgleda ovako:
Po podacima iz tablice zaključujemo da je vjerojatnost da izvučemo “limun” 0.7, a vjerojatnost da izvučemo “jagodu” 0.3.
Ja sam stavila 7 “limuna”, ako to čini 70% ukupnog broja bombona u vrećici onda je u vrećici ukupno 10 bombona.
Znači da je moj partner stavio 3 “jagode”. Napomena: Moj partner tvrdi da je stavio 5 “jagoda”. U čemu je greška?
Zadatak 4.
Vjerojatnost da točka pripada osjenčanom paralelogramu jednaka je omjeru površine tog paralelograma i površine cijelog pravokutnika.
Zadatak 5.
Izračunajmo površine nekih područja.
Sada imamo:
a) Vjerojatnost da slučajno pogodimo centar (Bull’s eye) je omjer površine centra i površine cijele mete.
b) 
Kako su površine koje pripadaju nekom broju jednake, pogađamo bilo koji broj s istom vjerojatnošću.
c) 
d)Triple koji pripada jednom broju ima površinu P_t/20=82.4π mm^2. Zato je
Triple 20 nosi najviše bodova, no ako niste dobri u pikadu promašaj Triple 20 se „kažnjava“ sa 1 ili 5 bodova koji su oko polja 20.
Primijetite da je vjerojatnost da slučajno pogodimo Bull veća od vjerojatnosti da pogodimo Triple 20. f) Double koji pripada jednom broju ima površinu P_d/20=132.8π mm^2.
Zato je 