LOTO i ostale igre i sportovi
Cilj:
Primijeniti kombinatoriku u igrama.
Ishodi učenja:
Učenik će:
- Analizirati rezultate pokusa
- Procijeniti šanse za dobitak u igri na sreću
- Razlikovati kombinacije s ponavljanjem i bez ponavljanja
- Primijeniti kombinatorne pojmove na rješavanje zadataka iz svakodnevnog života
Upute za nastavnika: Na početku kroz igru Mastermind ponavljamo permutacije. Igru možete napraviti koristeći npr. ploču i magnete ili bockalicu ili papiriće u boji ili čepove boca… Igra se može igrati i online.
Za bolju demonstraciju kombinacija u primjeru možete donijeti špil igraćih karata i njih 10 staviti na stol. Neka u zadatku 1 učenici prvo intuitivno pokušaju odrediti rješenje. Učenike možete podijeliti u 6 grupa – svaka grupa računa jedno od: (10¦4),(10¦5),(10¦6),(10¦7),(10¦8),(10¦9).
Zadatke 4-8 možete dati učenicima kao istraživačke radove. Na web stranicama Hrvatske lutrije opisane su sve igre na sreću koje nude. Učenici mogu samostalno ili u grupama proučiti u kojoj igri postoji najmanje mogućih kombinacija, za koju igru bi bilo najpovoljnije uplatiti sve moguće kombinacije i u kojoj igri bi dobitak premašio uplatu svih mogućih kombinacija.
Mogu istražiti i dodatne “pogodnosti” kao Super 7, Joker, zlatna kuglica… Ako ih radite zajedno poželjno je učenicima dati listiće pojedine igre da vide kako izgledaju i da pokušaju procijeniti broj mogućih kombinacija. Listiće mogu pogledati i online.
Zadatak 7 – postoje različite besplatne online Keno igre koje učenici mogu isprobati. Za preciznije računanje s velikim brojevima možete koristiti Wolfram Alpha (www.wolframalpha.com).
Zadatak 8 – Odigrajte igru Bingo (tombola) i potaknite učenike da dok igraju računaju koliko kombinacija za izvlačenje postoji.
Prodiskutirajte s učenicima sve dobivene rezultate, usporedite ih s njihovim očekivanjima i izvedite zaključke (Koliko moraš biti sretan u igrama na sreću? Kome se isplati igrati? Koju igru igrati?).
Pogledajte s učenicima kako Matt Parker (Fame Lab – International Final 2010) opisuje vjerojatnost dobitka na lutriji: www.youtube.com/watch?v=oikAgDUshlk. Video je i lijep uvod u vjerojatnost.
Rješenja zadataka:
Zadatak 1.
Iz prethodnog primjera znamo da je 
Računamo:
Vidimo da je najviše kombinacija za n=5.
Kako se rješenje slaže s vašim predviđanjima? Zašto je broj kombinacija isti biramo li 2 ili 8 kartica? Zato što nam je svejedno razmišljamo li koje dvije kartice ćemo uzeti ili koje dvije kartice ćemo ostaviti.
Zadatak 2.
Moguće je sastaviti (11¦5)=462 petorke.
Zadatak 3.
Neka je n broj trkača koje taj trener trenira. Imamo:
Trener je birao između 9 trkača.
Zadatak 4.
a) Moguće je (50¦5)⋅(10¦2)=95344200 kombinacija.
b) Uplata svih kombinacija stajala bi 1 430 163 000 kn (Milijarda i pol kuna).
Pogledajte koliki je Jamčeni Eurojackpot.
Zadatak 5.
a) Moguće je (39¦7)=15380937 kombinacija.
b) Uplata svih kombinacija stajala bi 46 142 811 kn.
c) Uplatom sistemskog listića sa 17 brojeva zapravo uplaćujemo (17¦7)=19448 kombinacija.
Taj ćemo listić platiti 58 344 kn. Pogledajte koliki je Jamčeni Jackpot.
Zadatak 6.
a) Moguće je (45¦6)=8145060 kombinacija.
b) Uplata svih kombinacija stajala bi 16 290 120 kn. Pogledajte koliki je Očekivani Jackpot.
c) Ne može svaki šesteroznamenkasti broj biti izvučen, npr. 111111 jer ne postoji šest kuglica s znamenkom jedinica 1.
Primijetite da se sve znamenke ne pojavljuju jednak broj puta među znamenkama jedinica brojeva od 1 do 45 – više će biti permutacija koje sadrže znamenke 1, 2, 3, 4, 5.
Zadatak 7.
a) (80¦20)=3535316142212174320≈3.5⋅〖10〗^18.
b) To su kombinacije u kojima je izabrano 6 od 20 izvučenih brojeva i 4 od 60 neizvučenih brojeva.
Njih ima (20¦6)⋅(60¦4)=18900732600≈1.9⋅〖10〗^10.
c) (20¦10)=184756.
Zadatak 8.
a) (90¦15)=45795673964460816≈4.6⋅〖10〗^16.
b) (18¦15)=816.
c) 90.
Vjerojatnost
Vjerojatnost je grana matematike koja se bavi problematikom brojčanog izražavanja stupnja vjerovanja da će se neki događaj dogoditi. Pojmove iz teorije vjerojatnosti učenici već nesvjesno koriste u svojim životima. Kroz stvarne primjere i iskustvene vježbe učenike učimo procjenjivati i računati vjerojatnosti.
Često se za prebrojavanje broja elementarnih događaja ili povoljnih ishoda koristi kombinatorika. Zato je ovaj dio napisan u istom stilu pa vrijede iste upute: Rješenja primjera nalaze se u priručniku za učenike. Učenicima je za samu nastavu bolje pripremiti nastavne listiće bez rješenja kako bi imali priliku samostalno izvoditi zaključke i nalaziti vlastite putove do rješenja.
Za mnoge zadatke potrebno je unaprijed pripremiti materijale kojima učenici manipuliraju kako bi lakše došli do zaključaka. Bitno je učenicima ostaviti dovoljno vremena za dolazak do otkrića. Nakon svakog individualnog rada ili rada u skupinama potrebno je prodiskutirati rješenja i razmišljanja te detektirati ispravna, a ispraviti kriva razmišljanja.
Učenike kontinuirano treba poticati na procjenu rješenja. Učenicima se kao evaluacija može zadati seminarski istraživački rad, bilo samostalan ili u skupini, za koji sami prema vlastitom interesu pronalaze temu (iz svoje okoline) i računaju vjerojatnosti koje ih zanimaju.